/ IEEE 754 Gleitkomma

Maximaler Gleitkommawert

Größter darstellbarer Wert: MaxVal = (2 − 2^(−m)) · 2^(2^(e−1) − 1). Für Float32 ≈ 3,4·10³⁸, für Float64 ≈ 1,8·10³⁰⁸.

01 · Eingabe

Maximaler Gleitkommawert berechnen

Größter darstellbarer Wert: MaxVal = (2 − 2^(−m)) · 2^(2^(e−1) − 1). Für Float32 ≈ 3,4·10³⁸, für Float64 ≈ 1,8·10³⁰⁸.

MaxVal = (2 − 2^(−m)) · 2^(2^(e−1) − 1)

m Mantissenbits

Bit

e Exponentenbits

Bit

Worum geht es?

Der größte endlich darstellbare IEEE-754-Wert entsteht bei maximalem normalisierten Exponenten und voll besetzter Mantisse. Die geschlossene Formel berücksichtigt beides:

Die Mantisse wird zu (2 − 2⁻ᵐ), also dem größten Wert knapp unter 2, und der Exponent erreicht 2^(e−1) − 1 — den höchsten normalisierten Exponenten nach Abzug des Bias. Für Float32 ergibt sich ≈ 3,4·10³⁸, für Float64 ≈ 1,8·10³⁰⁸. Werte oberhalb werden als ±∞ codiert.

Die Formel

Formel Maximaler Wert

MaxVal = (2 − 2^(−m)) · 2^(2^(e−1) − 1)

mit:
    m = Anzahl Mantissenbits
    e = Anzahl Exponentenbits

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
m	Mantissenbits	Bit	Mantissenbreite (23 / 52 / …).
e	Exponentenbits	Bit	Exponentenbreite (8 / 11 / …).
MaxVal	Maximalwert	—	Größter endlich darstellbarer Wert.

Minimal-Beispiel

Float32: m = 23, e = 8.

Rechnung MaxVal Float32

MaxVal = (2 − 2⁻²³) · 2^(2⁷ − 1)
       = (2 − 1,1921 · 10⁻⁷) · 2¹²⁷
       ≈ 3,4028235 · 10³⁸

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Float64

m = 52, e = 11.

Rechnung MaxVal Float64

MaxVal = (2 − 2⁻⁵²) · 2^(2¹⁰ − 1)
       = (2 − 2,22 · 10⁻¹⁶) · 2¹⁰²³
       ≈ 1,7976931 · 10³⁰⁸

Beispiel 2 — Half Precision (Float16)

m = 10, e = 5.

Rechnung MaxVal Float16

MaxVal = (2 − 2⁻¹⁰) · 2^(2⁴ − 1)
       = (2 − 0,000977) · 2¹⁵
       ≈ 65 504

Beispiel 3 — Overflow-Sicherheitspuffer

Wer numerische Algorithmen schreibt, hält Zwischenergebnisse unter MaxVal / k mit k = 10 … 100, um Multiplikationen ohne Overflow zu erlauben:

Rechnung Sicherheitsschwelle Float64

Sicherheitsgrenze = MaxVal / 100
                  ≈ 1,8 · 10³⁰⁶