/ IEEE 754 Gleitkomma

Minimaler positiver Gleitkommawert

Kleinster positiver normalisierter Wert: MinVal = 2^(2 − 2^(e−1)). Für Float32 ≈ 1,18·10⁻³⁸, für Float64 ≈ 2,23·10⁻³⁰⁸.

01 · Eingabe

Minimaler positiver Gleitkommawert berechnen

Kleinster positiver normalisierter Wert: MinVal = 2^(2 − 2^(e−1)). Für Float32 ≈ 1,18·10⁻³⁸, für Float64 ≈ 2,23·10⁻³⁰⁸.

Lösen für

MinVal = 2^(2 − 2^(e−1))

e Exponentenbits

Bit

Worum geht es?

Der kleinste positive normalisierte IEEE-754-Wert entsteht bei kleinstmöglichem gespeichertem Exponenten (gespeichert = 1, da 0 für Null und Subnormalzahlen reserviert ist) und einer leeren Mantisse. Das ergibt nach Berücksichtigung des Bias den realen Exponenten 1 − (2^(e−1) − 1) = 2 − 2^(e−1).

Für Float32 ergibt sich ≈ 1,18·10⁻³⁸, für Float64 ≈ 2,23·10⁻³⁰⁸. Werte darunter sind nur noch als subnormale Zahlen (mit Genauigkeitsverlust) oder als positive Null darstellbar.

Die Formel

Formel MinVal

MinVal = 2^(2 − 2^(e−1))

Umstellung:
    e = log₂(2 − log₂(MinVal)) + 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
e	Exponentenbits	Bit	Anzahl Exponentenbits (8 bei Float32, 11 bei Float64).
MinVal	Minimalwert	—	Kleinster positiver normalisierter Wert.

Minimal-Beispiel

Float32: e = 8.

Rechnung MinVal Float32

MinVal = 2^(2 − 2⁷)
       = 2^(2 − 128)
       = 2⁻¹²⁶
       ≈ 1,1754944 · 10⁻³⁸

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Float64

e = 11.

Rechnung MinVal Float64

MinVal = 2^(2 − 2¹⁰)
       = 2^(2 − 1024)
       = 2⁻¹⁰²²
       ≈ 2,2250739 · 10⁻³⁰⁸

Beispiel 2 — Half Precision (Float16)

e = 5.

Rechnung MinVal Float16

MinVal = 2^(2 − 2⁴)
       = 2⁻¹⁴
       ≈ 6,1035 · 10⁻⁵

Beispiel 3 — Subnormaler Bereich

Unterhalb von MinVal beginnt der subnormale Bereich, der mit reduzierter Mantissenpräzision bis hinunter zu 2⁻¹⁴⁹ (Float32) bzw. 2⁻¹⁰⁷⁴ (Float64) reicht. Bei Float32:

Rechnung Float32 Subnormal-Grenze

Min_Subnormal = 2⁻²³ · MinVal
              = 2⁻²³ · 2⁻¹²⁶
              = 2⁻¹⁴⁹
              ≈ 1,4 · 10⁻⁴⁵