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Kanalkapazität (Shannon)

Shannon-Hartley-Theorem: C = B · log₂(1 + S/N). Obere Schranke für fehlerfreie Datenrate auf einem analogen Kanal mit Gauß-Rauschen.

01 · Eingabe

Kanalkapazität (Shannon) berechnen

Shannon-Hartley-Theorem: C = B · log₂(1 + S/N). Obere Schranke für fehlerfreie Datenrate auf einem analogen Kanal mit Gauß-Rauschen.

Lösen für

C = B · log₂(1 + SN)

B Bandbreite

SN Signal-Rausch-Verhältnis

Worum geht es?

Die Shannon-Kanalkapazität ist die obere Schranke der fehlerfrei übertragbaren Datenrate auf einem analogen Kanal mit Bandbreite B und additivem Gauß-Rauschen. Sie wächst linear mit der Bandbreite und logarithmisch mit dem Signal-Rausch-Verhältnis.

Wichtig: Das Verhältnis S/N muss als linearer Faktor eingegeben werden, nicht in Dezibel. Umrechnung dB → linear: S/N = 10^(dB / 10).

Die Formel

Formel Shannon-Hartley

C = B · log₂(1 + S/N)

Umstellungen:
    B   = C / log₂(1 + S/N)
    S/N = 2^(C / B) − 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
B	Bandbreite	Hz	Kanalbandbreite in Hertz.
SN	Signal-Rausch-Verhältnis	—	S/N als linearer Faktor (nicht in dB).
C	Kanalkapazität	bit/s	Maximale fehlerfreie Datenrate.

Minimal-Beispiel

Telefonkanal mit B = 3,1 kHz und S/N = 1000 (≈ 30 dB):

Rechnung Telefonkanal

C = 3100 · log₂(1 + 1000)
  ≈ 3100 · 9,97
  ≈ 30,9 kbit/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — WLAN-Kanal

B = 20 MHz, S/N = 100 (20 dB):

Rechnung WLAN

C = 20 · 10⁶ · log₂(1 + 100)
  ≈ 20 · 10⁶ · 6,66
  ≈ 133 Mbit/s

Beispiel 2 — Erforderliche Bandbreite

Du brauchst C = 100 Mbit/s bei S/N = 31 (15 dB):

Rechnung Bandbreite

B = 100 · 10⁶ / log₂(1 + 31)
  = 100 · 10⁶ / 5
  = 20 MHz

Beispiel 3 — Benötigtes S/N

C = 1 Gbit/s bei B = 100 MHz:

Rechnung S/N

S/N = 2^(10⁹ / 10⁸) − 1
    = 2^10 − 1
    = 1023
    ≈ 30,1 dB