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Shannon-Kapazität

Maximale Kanalkapazität bei gegebener Bandbreite und Signal-Rausch-Verhältnis: C = B · log₂(1 + SNR). Theoretische Obergrenze.

Shannon-Kapazität

01 · Eingabe

Shannon-Kapazität berechnen

Maximale Kanalkapazität bei gegebener Bandbreite und Signal-Rausch-Verhältnis: C = B · log₂(1 + SNR). Theoretische Obergrenze.

Lösen für

C = B · log₂(1 + SNR)

B Bandbreite

SNR Signal-Rausch-Verhältnis

Worum geht es?

Das Shannon-Hartley-Theorem liefert die theoretische Obergrenze für die fehlerfreie Datenrate eines verrauschten Kanals: C = B · log₂(1 + SNR). B ist die Bandbreite in Hz, SNR das Signal-Rausch-Verhältnis als linearer Wert (nicht in dB).

Aus dB rechnest Du mit SNR_linear = 10^(SNR_dB / 10) um. Die Formel gilt für additives weißes gaußsches Rauschen und ist die wichtigste Grundgleichung der Informationstheorie.

Die Formel

Formel Shannon

C = B · log₂(1 + SNR)

Umstellungen:
    B   = C / log₂(1 + SNR)
    SNR = 2^(C / B) − 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
B	Bandbreite	Hz	Kanalbandbreite.
SNR	SNR (linear)	—	Signal-Rausch-Verhältnis, nicht in dB.
C	Kapazität	bit/s	Maximale fehlerfreie Datenrate.

Minimal-Beispiel

Telefon-Kanal: 3 kHz, SNR = 1000 (30 dB).

Rechnung Telefon-Kanal

C = 3000 · log₂(1 + 1000)
  = 3000 · log₂(1001)
  ≈ 3000 · 9,97
  ≈ 29,9 kbit/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — WLAN-Kanal 20 MHz, SNR 25 dB

SNR_linear = 10^(25/10) ≈ 316.

Rechnung WLAN

C = 2 · 10^7 · log₂(1 + 316)
  ≈ 2 · 10^7 · 8,31
  ≈ 166 Mbit/s

Beispiel 2 — Welches SNR für 100 Mbit/s über 10 MHz?

Rechnung Erforderliches SNR

SNR = 2^(10^8 / 10^7) − 1
    = 2^10 − 1
    = 1023  (≈ 30 dB)

Beispiel 3 — Welche Bandbreite für 1 Gbit/s bei SNR = 100?

Rechnung Bandbreitenbedarf

B = 10^9 / log₂(101)
  ≈ 10^9 / 6,66
  ≈ 150 MHz