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Gustafsons Gesetz (skalierter Speedup)

Skalierter Speedup bei wachsender Problemgröße: S = (1 − p) + p · n. Optimistischer als Amdahl, da mit n auch die Arbeit pro Prozessor mitwächst.

01 · Eingabe

Gustafsons Gesetz (skalierter Speedup) berechnen

Skalierter Speedup bei wachsender Problemgröße: S = (1 − p) + p · n. Optimistischer als Amdahl, da mit n auch die Arbeit pro Prozessor mitwächst.

Lösen für

S = (1 − p) + p · n

p Paralleler Anteil

n Prozessoren

Worum geht es?

Gustafsons Gesetz ist die optimistische Gegenposition zu Amdahl. Statt von einer festen Problemgröße auszugehen, nimmt Gustafson an, dass mit der Anzahl der Prozessoren auch die parallel zu verarbeitende Arbeit wächst. Typisch bei wissenschaftlichen Simulationen: Mehr Cores → feineres Gitter, mehr Zeitschritte.

Der entscheidende Unterschied: Amdahl misst „Wie viel schneller mit n Cores für dasselbe Problem?", Gustafson misst „Wie viel größeres Problem in derselben Zeit?". Beide Sichtweisen sind richtig, aber sie beschreiben verschiedene Szenarien.

Die Formel

Formel Gustafsons Gesetz

S = (1 − p) + p · n

Umstellungen:
    n = (S − (1 − p)) / p
    p = (S − 1) / (n − 1)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Erklärung
p	Paralleler Anteil	Parallelisierbarer Anteil (0–1).
n	Prozessoren	Anzahl Prozessoren.
S	Skalierter Speedup	Erreichbarer skalierter Speedup.

Minimal-Beispiel

p = 0,8, n = 4.

Rechnung Speedup

S = 0,2 + 0,8 · 4
  = 0,2 + 3,2
  = 3,4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Großer Cluster

p = 0,95, n = 64.

Rechnung Speedup

S = 0,05 + 0,95 · 64
  = 0,05 + 60,8
  = 60,85

Beispiel 2 — Parallelen Anteil bestimmen

Gemessen: S = 7,2 bei n = 8.

Rechnung p

p = (7,2 − 1) / (8 − 1)
  = 6,2 / 7
  ≈ 0,886

Beispiel 3 — Benötigte Prozessoren

Ziel S = 50, p = 0,9.

Rechnung Prozessoren

n = (50 − 0,1) / 0,9
  ≈ 55,4 ⇒ 56 Prozessoren