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Dritte Binomische Formel

Plus-Mal-Minus: (a + b)(a − b) = a² − b². Faktorisiert die Differenz zweier Quadrate.

01 · Eingabe

Dritte Binomische Formel berechnen

Plus-Mal-Minus: (a + b)(a − b) = a² − b². Faktorisiert die Differenz zweier Quadrate.

y = (a + b)(a − b) = a² − b²

a a

b b

Was ist die dritte Binomische Formel?

Die dritte Binomische Formel beschreibt das Produkt aus Summe und Differenz derselben zwei Terme:

(a + b)(a − b) = a² − b²

Sie ist besonders nützlich, um Produkte schnell auszuwerten oder umgekehrt eine Differenz von Quadraten zu faktorisieren. Beispiel: 47 · 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2500 − 9 = 2491.

Die Formel

Formel Dritte Binomische Formel

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Lesart:  „Plus mal Minus gleich Quadrat minus Quadrat."

Faktorisierung:
a² − b² = (a + b)(a − b)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Erster Term	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
b	Zweiter Term	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
y	Ergebnis	—	Wert von a² − b².

Minimal-Beispiel

Berechne (6 + 2)(6 − 2):

Rechnung Beispiel

(6 + 2)(6 − 2) = 6² − 2²
               = 36 − 4
               = 32

Probe:  8 · 4 = 32 ✓

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Schnelle Multiplikation

Berechne 47 · 53 im Kopf:

Rechnung Schnellrechnen

47 · 53 = (50 − 3)(50 + 3)
        = 2.500 − 9
        = 2.491

Beispiel 2 — Faktorisieren

Faktorisiere x² − 25:

Rechnung Faktorisierung

x² − 25 = x² − 5²
        = (x + 5)(x − 5)

Beispiel 3 — Bruch vereinfachen

Vereinfache (x² − 9) / (x − 3):

Rechnung Bruch kürzen

(x² − 9) / (x − 3) = (x + 3)(x − 3) / (x − 3)
                   = x + 3       (für x ≠ 3)

Beispiel 4 — Mit Wurzeln (Nenner rationalisieren)

Rationalisiere 1 / (√7 − √2):

Rechnung Wurzel-Nenner

1 / (√7 − √2) · (√7 + √2) / (√7 + √2)
= (√7 + √2) / (7 − 2)
= (√7 + √2) / 5

Beispiel 5 — Mehrere Variablen

Multipliziere (4x + 3y)(4x − 3y) aus:

Rechnung Mehrere Variablen

(4x + 3y)(4x − 3y) = (4x)² − (3y)²
                   = 16x² − 9y²