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Erste Binomische Formel

Plus-Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Summe.

01 · Eingabe

Erste Binomische Formel berechnen

Plus-Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Summe.

y = (a + b)² = a² + 2ab + b²

a a

b b

Was ist die erste Binomische Formel?

Die erste Binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Summe:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Sie folgt direkt aus der Definition (a + b)² = (a + b)(a + b) und dem Distributivgesetz. Im Kopf rechnet sich damit beispielsweise 23² als (20 + 3)² = 400 + 120 + 9 = 529 — ohne schriftliche Multiplikation.

Die Formel

Formel Erste Binomische Formel

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Lesart:  „Quadrat des ersten plus zweimal das Produkt
          plus Quadrat des zweiten."

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Erster Summand	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
b	Zweiter Summand	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
y	Ergebnis	—	Wert von (a + b)².

Minimal-Beispiel

Berechne (5 + 3)² mit der Formel:

Rechnung Beispiel

(5 + 3)² = 5² + 2·5·3 + 3²
         = 25 + 30 + 9
         = 64

Probe:    8² = 64 ✓

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kopfrechnen

Berechne 23² ohne schriftliche Multiplikation:

Rechnung Kopfrechnen

23² = (20 + 3)²
    = 400 + 2·20·3 + 9
    = 400 + 120 + 9
    = 529

Beispiel 2 — Mit Variablen

Multipliziere (x + 4)² aus:

Rechnung Variablen

(x + 4)² = x² + 2·x·4 + 4²
         = x² + 8x + 16

Beispiel 3 — Mit Wurzel

Multipliziere (3 + √2)² aus:

Rechnung Wurzel

(3 + √2)² = 9 + 2·3·√2 + 2
          = 11 + 6√2
          ≈ 19,485

Beispiel 4 — Quadratische Ergänzung

Vervollständige x² + 10x zum Quadrat:

Rechnung Ergänzung

Vergleich mit a² + 2ab + b²:
a = x,  2ab = 10x   →   b = 5
Es fehlt b² = 25.

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Beispiel 5 — Beliebige Terme

Multipliziere (2x + 3y)² aus:

Rechnung Mehrere Variablen

(2x + 3y)² = (2x)² + 2·(2x)·(3y) + (3y)²
           = 4x² + 12xy + 9y²