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Lineare Gleichung

Löst die lineare Gleichung a · x + b = 0 nach x auf: x = −b / a (für a ≠ 0).

Lineare Gleichung
01 · Eingabe

Lineare Gleichung berechnen

Löst die lineare Gleichung a · x + b = 0 nach x auf: x = −b / a (für a ≠ 0).

x = −b / a

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung in einer Variablen hat die Form a · x + b = 0. Sie heißt linear, weil x nur in der ersten Potenz auftritt — der Graph der zugehörigen Funktion f(x) = a · x + b ist eine Gerade.

Die Lösung ist die einzige Nullstelle dieser Geraden: der Punkt, an dem sie die x-Achse schneidet. Solange a ≠ 0, gibt es genau eine Lösung.

Die Formel

Formel Lineare Gleichung 
a · x + b = 0     ⇒     x = −b / a

Bedingung:  a ≠ 0
Sonderfall: a = 0, b = 0  →  jede Zahl löst die Gleichung
Sonderfall: a = 0, b ≠ 0  →  keine Lösung

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
aKoeffizient—Steigung der zugehörigen Geraden, a ≠ 0.
bKonstante—y-Achsenabschnitt — der Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
xLösung—Nullstelle der Gleichung.

Minimal-Beispiel

Löse 3 · x + 6 = 0:

Rechnung Beispiel 
x = −b / a
  = −6 / 3
  = −2

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Negative Steigung

Löse −4 · x + 12 = 0:

Rechnung Negative Steigung 
x = −12 / (−4)
  = 3

Beispiel 2 — Brüche

Löse 0,5 · x − 7 = 0 (also a = 0,5, b = −7):

Rechnung Brüche 
x = −(−7) / 0,5
  = 7 / 0,5
  = 14

Beispiel 3 — Aus Textaufgabe

„Eine Zahl wird mit 7 multipliziert; addiert man 21, ergibt sich 0." Wie heißt die Zahl?

Rechnung Textaufgabe 
7 · x + 21 = 0
x = −21 / 7
  = −3

Beispiel 4 — Nicht-Standardform umstellen

Bringe 5 · x − 8 = 2 · x + 7 zuerst in Standardform:

Rechnung Umstellen 
5x − 8 − 2x − 7 = 0
3x − 15 = 0          (a = 3, b = −15)
x = 15 / 3
  = 5