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Zweite Binomische Formel

Minus-Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Differenz.

01 · Eingabe

Zweite Binomische Formel berechnen

Minus-Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Differenz.

y = (a − b)² = a² − 2ab + b²

a a

b b

Was ist die zweite Binomische Formel?

Die zweite Binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Differenz:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Beachte: Das gemischte Glied 2ab kommt mit Minus, das letzte Glied b² aber wieder mit Plus — quadrierte Werte sind nie negativ. Im Kopf lassen sich damit zum Beispiel 97² als (100 − 3)² = 10 000 − 600 + 9 = 9 409 berechnen.

Die Formel

Formel Zweite Binomische Formel

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Lesart:  „Quadrat des ersten minus zweimal das Produkt
          plus Quadrat des zweiten."

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Erster Term	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
b	Zweiter Term	—	Beliebige reelle Zahl oder Term.
y	Ergebnis	—	Wert von (a − b)².

Minimal-Beispiel

Berechne (7 − 2)² mit der Formel:

Rechnung Beispiel

(7 − 2)² = 7² − 2·7·2 + 2²
         = 49 − 28 + 4
         = 25

Probe:    5² = 25 ✓

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kopfrechnen

Berechne 97² ohne schriftliche Multiplikation:

Rechnung Kopfrechnen

97² = (100 − 3)²
    = 10.000 − 2·100·3 + 9
    = 10.000 − 600 + 9
    = 9.409

Beispiel 2 — Mit Variablen

Multipliziere (x − 6)² aus:

Rechnung Variablen

(x − 6)² = x² − 2·x·6 + 36
         = x² − 12x + 36

Beispiel 3 — Quadratische Ergänzung rückwärts

Erkenne x² − 14x + 49 als Binom:

Rechnung Rückwärts

Vergleich mit a² − 2ab + b²:
a = x,  −2ab = −14x   →   b = 7
b² = 49 ✓

x² − 14x + 49 = (x − 7)²

Beispiel 4 — Mit Wurzel

Multipliziere (5 − √3)² aus:

Rechnung Wurzel

(5 − √3)² = 25 − 2·5·√3 + 3
          = 28 − 10√3
          ≈ 10,679

Beispiel 5 — Mehrere Variablen

Multipliziere (3a − 2b)² aus:

Rechnung Mehrere Variablen

(3a − 2b)² = (3a)² − 2·(3a)·(2b) + (2b)²
           = 9a² − 12ab + 4b²