Gauß-Summe

Was ist die Gauß-Summe?

Die Gauß-Summe ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + … + n.

Der Name geht auf eine Schulaufgabe zurück, die der junge Carl Friedrich Gauß angeblich in Sekunden löste: Statt brav zu addieren, paarte er die Zahlen geschickt — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … — und stellte fest, dass jedes Paar 101 ergibt. Bei 50 solcher Paare landete er sofort bei 5 050.

Aus dem gleichen Trick folgt die allgemeine Formel: n/2 Paare, jedes mit der Summe (n + 1). Das ist genau ein Spezialfall der arithmetischen Reihe mit a₁ = 1 und aₙ = n.

Die Formel

S = n · (n + 1) / 2

Umstellung nach n (über die quadratische Gleichung n² + n − 2S = 0):

n = (−1 + √(1 + 8 · S)) / 2

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Summe der Zahlen 1 bis 10:

S = 10 · (10 + 1) / 2
  = 10 · 11 / 2
  = 55

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Die berühmte Schulaufgabe

Summe der Zahlen 1 bis 100:

S = 100 · 101 / 2
  = 10 100 / 2
  = 5 050

Beispiel 2 — Wachsendes Wertpapierdepot

Du kaufst im 1. Monat 1 Aktie, im 2. Monat 2, im 3. Monat 3 und so weiter. Wie viele Aktien besitzt du nach 12 Monaten?

S = 12 · (12 + 1) / 2
  = 12 · 13 / 2
  = 78 Aktien

Beispiel 3 — Dreieckszahlen

Die Gauß-Summen sind genau die Dreieckszahlen Tₙ. Erste Werte:

T₁  =  1
T₂  =  3
T₃  =  6
T₄  = 10
T₅  = 15
T₆  = 21
T₇  = 28
T₈  = 36
T₉  = 45
T₁₀ = 55

Beispiel 4 — Anzahl Spiele im Turnier (jeder gegen jeden)

Bei n Mannschaften, die jeder einmal gegen jeden spielen, finden insgesamt 1 + 2 + … + (n − 1) Spiele statt. Bei 8 Mannschaften:

Anzahl Spiele = (8 − 1) · 8 / 2
              = 7 · 8 / 2
              = 28 Spiele

Beispiel 5 — n aus Summe zurückrechnen

Welche obere Grenze n gehört zur Gauß-Summe S = 210?

n = (−1 + √(1 + 8 · 210)) / 2
  = (−1 + √1 681) / 2
  = (−1 + 41) / 2
  = 20

Probe: 20 · 21 / 2 = 210 ✓