Dreiecksfläche (Heron)
Heronsche Formel: aus den drei Seiten a, b, c folgt mit s = (a + b + c) / 2 die Fläche A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).
Dreiecksfläche (Heron) berechnen
Heronsche Formel: aus den drei Seiten a, b, c folgt mit s = (a + b + c) / 2 die Fläche A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).
Was ist die Heronsche Formel?
Die Heronsche Formel (nach Heron von Alexandria) liefert die Fläche eines Dreiecks allein aus den drei Seitenlängen — ohne dass eine Höhe oder ein Winkel bekannt sein muss. Sie ist damit das Werkzeug der Wahl, wenn nur Aufmaßstrecken vorliegen, etwa bei Grundstücksvermessung oder im Geländebau.
Hilfsgröße ist der halbe Umfang s = (a + b + c) / 2, der „semiperimeter" genannt wird. Damit ergibt sich die Fläche als Wurzel aus dem Produkt s · (s − a) · (s − b) · (s − c). Wenn dieses Produkt negativ wird, bilden die drei Strecken kein gültiges Dreieck (Dreiecksungleichung verletzt).
Die Formel
s = (a + b + c) / 2
A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c))Voraussetzung: a + b > c, a + c > b, b + c > a (Dreiecksungleichung).
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Seite a | Länge | Erste Dreiecksseite. |
| b | Seite b | Länge | Zweite Dreiecksseite. |
| c | Seite c | Länge | Dritte Dreiecksseite. |
| A | Fläche | Fläche | Flächeninhalt des Dreiecks. |
Minimal-Beispiel
3-4-5-Dreieck (rechtwinklig):
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
A = √(6 · 3 · 2 · 1)
= √36
= 6Kontrollrechnung über ½ · g · h: ½ · 3 · 4 = 6. Passt.
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Grundstück mit drei Aufmaßseiten
Ein dreieckiges Eckgrundstück wurde mit den Seiten 25 m, 32 m und 18 m eingemessen.
s = (25 + 32 + 18) / 2 = 37,5
A = √(37,5 · 12,5 · 5,5 · 19,5)
= √50 273,4
≈ 224,2 m²Beispiel 2 — Dachfläche aus den drei Sparrenmaßen
Eine schräge Dachgaube bildet ein Dreieck mit den Seiten 4,20 m, 3,80 m und 2,50 m.
s = (4,20 + 3,80 + 2,50) / 2 = 5,25
A = √(5,25 · 1,05 · 1,45 · 2,75)
= √21,98
≈ 4,69 m²Beispiel 3 — Vermessung im Gelände
Ein Forstbereich wurde durch Bandmaß-Strecken zwischen drei Bäumen abgesteckt: 60 m, 80 m und 100 m. Welche Fläche umschließt das Dreieck?
s = (60 + 80 + 100) / 2 = 120
A = √(120 · 60 · 40 · 20)
= √5 760 000
= 2 400 m²Hinweis: 60-80-100 ist proportional zu 3-4-5, also rechtwinklig — Heron liefert hier dasselbe wie ½ · 60 · 80.
Beispiel 4 — Test auf gültiges Dreieck
Liegen die drei Strecken 2 m, 3 m und 7 m vor, gilt 2 + 3 = 5 < 7. Die Dreiecksungleichung ist verletzt, ein Dreieck existiert nicht. Der Rechner würde unter der Wurzel einen negativen Wert erhalten und einen Hinweis ausgeben.