Ellipsenfläche

Was ist die Ellipsenfläche?

Eine Ellipse ist ein zur Seite hin gestreckter (oder gestauchter) Kreis. Sie hat zwei zueinander senkrechte Achsen: die große Halbachse a und die kleine Halbachse b (jeweils gemessen vom Mittelpunkt bis zum Rand). Die Fläche ergibt sich elegant aus der Kreisformel, indem man r² durch a · b ersetzt: A = π · a · b.

Für a = b = r geht die Formel in den Kreis A = π · r² über. Ellipsen tauchen in der Architektur (Ovalfenster, Tonnengewölbe-Querschnitte), im Maschinenbau (schräge Schnitte durch Zylinder) und in der Astronomie (Bahnen) auf.

Die Formel

A = π · a · b

Aufgelöst:
    a = A / (π · b)
    b = A / (π · a)

Beachte: a und b sind Halbachsen, nicht volle Achsen. Wird der Durchmesser angegeben, gilt a = D₁ / 2 und b = D₂ / 2.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

a = 5, b = 3:

A = π · 5 · 3
  = π · 15
  ≈ 47,12

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Ovalfenster im Treppenhaus

Ein Ovalfenster ist 1,20 m breit und 0,80 m hoch. Damit gilt a = 0,60 m und b = 0,40 m.

A = π · 0,60 · 0,40
  = π · 0,24
  ≈ 0,754 m²

Beispiel 2 — Tischplatte oval

Eine ovale Esstischplatte ist 200 cm lang und 110 cm breit.

A = π · 100 · 55
  = π · 5 500
  ≈ 17 279 cm²
  ≈ 1,73 m²

Beispiel 3 — Schrägschnitt durch ein Rohr

Schneidet man ein Rundrohr (r = 50 mm) im 60°-Winkel schräg an, entsteht eine Ellipse mit a = r / sin(60°) ≈ 57,7 mm und b = 50 mm.

A = π · 57,7 · 50
  = π · 2 885
  ≈ 9 064 mm²
  ≈ 90,6 cm²

Beispiel 4 — Halbachse zurückrechnen

Ein ovales Pflanzbeet soll 3,00 m² Fläche haben, die große Halbachse misst a = 1,30 m. Welche kleine Halbachse muss das Beet haben?

b = A / (π · a)
  = 3,00 / (π · 1,30)
  ≈ 0,735 m