/ Geometrie Flächen

Regelmäßiges Vieleck

Fläche eines regelmäßigen n-Ecks aus Eckenzahl n und Seitenlänge a: A = n · a² / (4 · tan(π / n)).

01 · Eingabe

Regelmäßiges Vieleck berechnen

Fläche eines regelmäßigen n-Ecks aus Eckenzahl n und Seitenlänge a: A = n · a² / (4 · tan(π / n)).

Lösen für

A = n · a² / (4 · tan(π / n))

n Eckenzahl

a Seitenlänge

Was ist ein regelmäßiges Vieleck?

Ein regelmäßiges n-Eck hat n gleich lange Seiten und n gleich große Innenwinkel. Klassiker sind das gleichseitige Dreieck (n = 3), das Quadrat (n = 4), das regelmäßige Fünfeck (n = 5), das Sechseck (n = 6, etwa Wabenmuster) und das Achteck (n = 8, klassisch im Kirchenbau und bei Stoppschildern).

Zerlegt man das Vieleck vom Mittelpunkt aus in n gleichschenklige Dreiecke mit Basis a und Höhe h = a / (2 · tan(π / n)), liefert die Summe aller Dreiecksflächen die kompakte Formel A = n · a² / (4 · tan(π / n)). Für n → ∞ geht das Vieleck in den Kreis über, und die Formel konvergiert gegen π · r².

Die Formel

Formel Regelmäßiges Vieleck

A = n · a² / (4 · tan(π / n))

Aufgelöst nach a:
    a = √(A · 4 · tan(π / n) / n)

Bedingung: n ≥ 3 (mindestens ein Dreieck).

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Eckenzahl		Anzahl der Ecken (ganzzahlig, n ≥ 3).
a	Seitenlänge	Länge	Länge einer Seite.
A	Fläche	Fläche	Flächeninhalt des Vielecks.

Minimal-Beispiel

Regelmäßiges Sechseck (n = 6) mit a = 4:

Rechnung Sechseck

A = 6 · 4² / (4 · tan(π / 6))
  = 96 / (4 · 0,5774)
  = 96 / 2,3094
  ≈ 41,57

Kontrolle: Sechseck = 6 gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge 4, jeweils √3 / 4 · 16 ≈ 6,928 → 6 · 6,928 ≈ 41,57. Passt.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Sechseckige Bodenfliese (Wabenmuster)

Eine Wabenfliese hat n = 6 Ecken und Seitenlänge a = 15 cm.

Rechnung Wabenfliese

A = 6 · 15² / (4 · tan(π / 6))
  = 6 · 225 / 2,3094
  = 1 350 / 2,3094
  ≈ 584,57 cm²
  ≈ 0,0585 m²

Für 5 m² Wabenfläche werden also rund 86 Fliesen gebraucht.

Beispiel 2 — Achteckiger Pavillon-Grundriss

Ein Gartenpavillon hat einen regelmäßigen achteckigen Grundriss mit Seitenlänge 1,80 m.

Rechnung Pavillon

A = 8 · 1,80² / (4 · tan(π / 8))
  = 8 · 3,24 / (4 · 0,4142)
  = 25,92 / 1,6569
  ≈ 15,64 m²

Beispiel 3 — Fünfeckiges Verkehrszeichen

Ein „Schulweg"-Pentagramm-Schild ist ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge 50 cm.

Rechnung Schulwegschild

A = 5 · 50² / (4 · tan(π / 5))
  = 5 · 2 500 / (4 · 0,7265)
  = 12 500 / 2,9062
  ≈ 4 301 cm²
  ≈ 0,430 m²

Beispiel 4 — Seitenlänge zu gegebener Fläche

Ein Brunnen-Rondell soll als regelmäßiges Achteck (n = 8) ausgeführt werden und exakt 20 m² Fläche haben.

Rechnung Brunnen-Achteck

a = √(20 · 4 · tan(π / 8) / 8)
  = √(20 · 4 · 0,4142 / 8)
  = √4,142
  ≈ 2,04 m