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Pyramide Oberfläche

Oberfläche einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche inkl. der vier Seitendreiecke: O = a² + 2·a·√(h² + (a/2)²).

Pyramide Oberfläche

01 · Eingabe

Pyramide Oberfläche berechnen

Oberfläche einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche inkl. der vier Seitendreiecke: O = a² + 2·a·√(h² + (a/2)²).

O = a² + 2·a·√(h² + (a/2)²)

a Grundseitenlänge

h Höhe

Was ist die Pyramidenoberfläche?

Bei einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche besteht die Oberfläche aus zwei Teilen:

dem Grundquadrat mit a²
vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken als Seitenflächen.

Die Höhe eines solchen Seitendreiecks (vom Mittelpunkt einer Grundkante zur Spitze) heißt Seitenhöhe s_a. Sie hängt mit Pyramidenhöhe h und der halben Grundkante a/2 über den Satz des Pythagoras zusammen:

s_a = √(h² + (a/2)²)

Damit ergibt sich die Gesamtoberfläche:

O = a² + 4 · (a · s_a / 2) = a² + 2 · a · s_a = a² + 2 · a · √(h² + (a/2)²)

Die Formel

Formel Pyramidenoberfläche

s_a = √(h² + (a/2)²)
O   = a² + 2 · a · s_a
    = a² + 2 · a · √(h² + (a/2)²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Grundseitenlänge	Länge	Seitenlänge der quadratischen Grundfläche.
h	Höhe	Länge	Senkrechte vom Mittelpunkt zur Spitze.
O	Oberfläche	Länge²	Grundquadrat plus vier Seitendreiecke.

Minimal-Beispiel

Oberfläche bei a = 6, h = 4:

Rechnung a = 6, h = 4

s_a = √(4² + 3²)
    = √25
    = 5
O   = 6² + 2 · 6 · 5
    = 36 + 60
    = 96

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kupferblech für ein Pyramidendach

Ein Dachreiter erhält ein pyramidenförmiges Dach mit a = 1,20 m und h = 1,50 m. Welche Blechfläche braucht es (nur die vier Seiten, ohne Grundfläche)?

Rechnung Dachblech

s_a    = √(1,50² + 0,60²)
       = √2,61
       ≈ 1,616 m
A_seit = 2 · 1,20 · 1,616
       ≈ 3,88 m²

Beispiel 2 — Glaspyramide (Vier Seiten verglast)

Eine moderne Architektur-Glaspyramide hat a = 2,50 m und h = 3,20 m. Wie viel Glas wird für die Seiten benötigt?

Rechnung Glasfläche

s_a    = √(3,20² + 1,25²)
       = √11,80
       ≈ 3,436 m
A_glas = 2 · 2,50 · 3,436
       ≈ 17,18 m²

Beispiel 3 — Anstrich einer kompletten Pyramide

Eine Beton-Schmuckpyramide (a = 0,80 m, h = 1,00 m) soll vollständig — inkl. Grundfläche — versiegelt werden.

Rechnung Versiegelung

s_a = √(1,00² + 0,40²)
    = √1,16
    ≈ 1,077 m
O   = 0,80² + 2 · 0,80 · 1,077
    = 0,64 + 1,723
    ≈ 2,36 m²

Beispiel 4 — Sehr flache Pyramide

Bei a = 4,00 m und h = 0,50 m sind die Seitendreiecke kaum geneigt:

Rechnung Flachpyramide

s_a = √(0,50² + 2,00²)
    = √4,25
    ≈ 2,062 m
O   = 4,00² + 2 · 4,00 · 2,062
    = 16,00 + 16,50
    ≈ 32,50 m²

Beispiel 5 — Steile Spitzpyramide

Bei a = 2,00 m und h = 6,00 m dominieren die Seitendreiecke deutlich:

Rechnung Spitzpyramide

s_a = √(6,00² + 1,00²)
    = √37
    ≈ 6,083 m
O   = 2,00² + 2 · 2,00 · 6,083
    = 4,00 + 24,33
    ≈ 28,33 m²