Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen über kgV(a, b) = |a · b| / ggT(a, b).
Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen
Berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen über kgV(a, b) = |a · b| / ggT(a, b).
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste positive Zahl, die sowohl Vielfaches von a als auch von b ist.
Beispiel: Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20, 24 …; die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24 … Das kleinste, das in beiden Listen vorkommt, ist 12 — also kgV(4, 6) = 12.
Praktisch wichtig wird das kgV beim Bruchrechnen (Hauptnenner) und bei Zyklen (gleichzeitiges Auftreten von Ereignissen).
Die Formel
Das kgV lässt sich elegant über den ggT ausdrücken:
k = |a · b| / ggT(a, b)Diese Beziehung folgt aus dem Hauptsatz der Zahlentheorie und ist deutlich schneller als das Auflisten von Vielfachen. Mit a = 0 oder b = 0 ist das kgV nicht definiert.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Erste Zahl | — | Erste ganze Zahl, ungleich 0. |
| b | Zweite Zahl | — | Zweite ganze Zahl, ungleich 0. |
| k | kgV | — | Das kleinste gemeinsame positive Vielfache. |
Minimal-Beispiel
kgV(4, 6):
ggT(4, 6) = 2
kgV = |4 · 6| / 2 = 24 / 2 = 12Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Hauptnenner finden
Die Brüche 5 / 12 und 7 / 18 sollen addiert werden. Der gemeinsame Nenner ist kgV(12, 18):
ggT(12, 18) = 6
kgV = |12 · 18| / 6 = 216 / 6 = 36
5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36Beispiel 2 — Zyklen synchronisieren
Bus A fährt alle 15 Minuten, Bus B alle 20 Minuten. Wann treffen sie sich wieder gleichzeitig an der Haltestelle?
ggT(15, 20) = 5
kgV = |15 · 20| / 5 = 300 / 5 = 60
Beide treffen sich alle 60 Minuten gleichzeitig.Beispiel 3 — kgV(8, 14)
ggT(8, 14) = 2
kgV = |8 · 14| / 2 = 112 / 2 = 56Beispiel 4 — Teilerfremder Sonderfall
Wenn ggT = 1 ist, ist das kgV einfach das Produkt:
ggT(7, 9) = 1
kgV = |7 · 9| / 1 = 63