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Logarithmus (Basis 10)

Berechnet den dekadischen Logarithmus log₁₀(a). Beantwortet die Frage: 10 hoch wie viel ergibt a?

01 · Eingabe

Logarithmus (Basis 10) berechnen

Berechnet den dekadischen Logarithmus log₁₀(a). Beantwortet die Frage: 10 hoch wie viel ergibt a?

Lösen für

y = log₁₀(a)

a Argument

Was ist der dekadische Logarithmus?

Der dekadische Logarithmus log₁₀(a) — oft kurz „lg(a)" geschrieben — beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss ich 10 potenzieren, um a zu erhalten?" Formal: log₁₀(a) = y bedeutet 10^y = a.

Er ist die Umkehrfunktion der Potenz 10^x und das natürliche Werkzeug, um Größenordnungen handlich auszudrücken — etwa Schalldruck (Dezibel), pH-Wert oder Erdbebenstärke (Richter-Skala).

Definitionsbereich: a > 0. Für a ≤ 0 ist der Logarithmus in den reellen Zahlen nicht definiert.

Die Formel

Formel Logarithmus Basis 10

y = log₁₀(a)         (a > 0)

Umkehrung:
a = 10 ^ y

Faustregel: log₁₀(10^k) = k. Jede Multiplikation von a mit 10 erhöht den Logarithmus um genau 1.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Argument	—	Positive Zahl, a > 0.
y	Ergebnis	—	Dekadischer Logarithmus von a, y = log₁₀(a).

Minimal-Beispiel

log₁₀(1000) berechnen:

Rechnung Beispiel

log₁₀(1000) = 3       (denn 10³ = 1000)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Zehnerpotenzen

Rechnung log₁₀ glatter Werte

log₁₀(1)         =  0
log₁₀(10)        =  1
log₁₀(100)       =  2
log₁₀(1.000)     =  3
log₁₀(1.000.000) =  6
log₁₀(0,1)       = -1
log₁₀(0,01)      = -2

Beispiel 2 — Zwischenwert

Rechnung log₁₀(50)

log₁₀(50) ≈ 1,69897

Beispiel 3 — Größenordnung einer Zahl

Wie viele Stellen hat 7 · 10^12 in Dezimal?

Rechnung Stellenanzahl

log₁₀(7 · 10^12) ≈ 12,845
Stellenanzahl    = ⌊12,845⌋ + 1
                 = 13

Beispiel 4 — Schalldruckpegel (dB)

Ein Geräusch ist 1.000-mal so intensiv wie das Referenzniveau. Pegel L?

Rechnung L = 10 · log₁₀(I/I₀)

L = 10 · log₁₀(1000)
  = 10 · 3
  = 30 dB

Beispiel 5 — Rückrechnung

Bei y = 2,3 zurück zum Argument a:

Rechnung a = 10 ^ y

a = 10 ^ 2,3
  ≈ 199,53