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n-te Wurzel

Berechnet die n-te Wurzel von a, also a^(1/n). Für n = 2 ergibt sich die Quadratwurzel, für n = 3 die Kubikwurzel.

n-te Wurzel

01 · Eingabe

n-te Wurzel berechnen

Berechnet die n-te Wurzel von a, also a^(1/n). Für n = 2 ergibt sich die Quadratwurzel, für n = 3 die Kubikwurzel.

Lösen für

y = ⁿ√a = a ^ (1/n)

a Radikand

n Wurzelexponent

Was ist die n-te Wurzel?

Die n-te Wurzel aus a ist diejenige Zahl y, deren n-te Potenz a ergibt: y^n = a. Sie ist die Umkehroperation des Potenzierens und schreibt sich als ⁿ√a oder als gebrochene Potenz a^(1/n).

Spezialfälle:

n = 2 — die Quadratwurzel √a
n = 3 — die Kubikwurzel ³√a

Bei geradem n verlangt die Wurzel einen Radikanden ≥ 0 (in den reellen Zahlen). Bei ungeradem n sind auch negative Radikanden zulässig: ³√(−8) = −2.

Die Formel

Formel n-te Wurzel

y = ⁿ√a  =  a ^ (1/n)       (n ≠ 0)

Umkehrung:
a = y ^ n

Die Schreibweise als gebrochene Potenz macht klar, warum Wurzelziehen und Potenzieren zwei Seiten derselben Operation sind.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Radikand	—	Zahl unter der Wurzel.
n	Wurzelexponent	—	Grad der Wurzel, n ≠ 0.
y	Ergebnis	—	Wurzelwert a^(1/n).

Minimal-Beispiel

³√27 berechnen:

Rechnung Beispiel

³√27 = 27 ^ (1/3)
     = 3       (denn 3³ = 27)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kubikwurzeln

Rechnung ³√n für ausgewählte n

³√1    = 1
³√8    = 2
³√27   = 3
³√64   = 4
³√125  = 5
³√1000 = 10

Beispiel 2 — Vierte Wurzel

Rechnung ⁴√81

⁴√81 = 81 ^ (1/4)
     = 3        (denn 3⁴ = 81)

Beispiel 3 — Kantenlänge eines Würfels

Ein Würfel hat ein Volumen von 343 cm³. Welche Kantenlänge?

Rechnung V = 343

s = ³√343  =  7 cm

Beispiel 4 — Mittlere Wachstumsrate

Ein Kapital wächst in 5 Jahren von 1000 auf 1611. Wie hoch ist die durchschnittliche Jahresrate q?

Rechnung q = ⁵√(1611/1000)

q = ⁵√1,611
  ≈ 1,1
  → 10 % pro Jahr

Beispiel 5 — Rückrechnung über y^n

Bei y = 2 und n = 6:

Rechnung a = y ^ n

a = 2 ^ 6  =  64

Probe: ⁶√64 = 2 ✓