Quadratwurzel
Berechnet die Quadratwurzel √a. Die Umkehroperation a = y² liefert den Radikanden zurück.
Quadratwurzel berechnen
Berechnet die Quadratwurzel √a. Die Umkehroperation a = y² liefert den Radikanden zurück.
- y — Ergebnis
- a — Radikand
Was ist die Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel √a einer nicht-negativen Zahl a ist diejenige nicht-negative Zahl y, deren Quadrat a ergibt: y · y = a. Sie ist die Umkehroperation des Quadrierens.
Beispiel: √25 = 5, denn 5 · 5 = 25. Für negative Radikanden ist √a in den reellen Zahlen nicht definiert.
Quadratwurzeln treten überall dort auf, wo Flächen in Längen zurückübersetzt werden — etwa beim Satz des Pythagoras, bei Standardabweichungen oder beim Lösen quadratischer Gleichungen.
Die Formel
y = √a (a ≥ 0, y ≥ 0)
Umkehrung:
a = y²Per Konvention bezeichnet √a immer den nicht-negativen Wert. Die Gleichung y² = a hat für a > 0 zwei Lösungen (+√a und −√a), das Wurzelzeichen liefert nur die positive davon.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Radikand | — | Zahl unter der Wurzel, a ≥ 0. |
| y | Ergebnis | — | Wurzelwert √a, der nicht-negative Wert. |
Minimal-Beispiel
√81 berechnen:
√81 = 9 (denn 9² = 81)Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Quadratzahlen
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√100 = 10
√144 = 12
√169 = 13Beispiel 2 — Nicht-ganzzahliges Ergebnis
√2 ≈ 1,414213562√2 ist irrational — die Dezimaldarstellung bricht nicht ab.
Beispiel 3 — Satz des Pythagoras
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 3 und 4. Wie lang ist die Hypotenuse c?
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5Beispiel 4 — Seitenlänge eines Quadrats
Ein Quadrat hat eine Fläche von 196 cm². Welche Seitenlänge?
s = √196 = 14 cmBeispiel 5 — Rückrechnung über y²
Wenn y = 7,5 ist, welcher Radikand a gehört dazu?
a = 7,5² = 56,25